Question

8．如图①、②，∠ABC=90°，D是线段AB延长线的点，AD=BC．
探究：如图①，过点A作AF⊥AB，F、C在直线AB的两侧，截取AF=BD，连结DC、DF、CF．求证：DF=DC，∠FDC=90°．
应用：如图②，E是线段BC延长线上一点，直线AE、CD相交于点P，若CE=BD，则∠APD的大小为45度．

Answer 1

分析 （1）由已知证明△FAD≌△DBC，得到DF=DC，∠FDA=∠DCB，由∠DCB+∠BDC=90°，得到∠FDA+∠BDC=90°，所以∠FDC=90°；
（2）过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DF、CF，证明四边形AFCE为平行四边形，得到FC∥AE，得到∠APD=∠FCD，根据∠FCD=45°，所以∠APD=45°．

解答 解：（1）∵∠ABC=90°，AF⊥AB，
∴∠FAD=∠DBC=90°，
在△FAD和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠FAD=∠DBC}\\{AF=BD}\end{array}\right.$
∴△FAD≌△DBC，
∴DF=DC，∠FDA=∠DCB，
∵∠DCB+∠BDC=90°，
∴∠FDA+∠BDC=90°，
∴∠FDC=90°．
（2）如图2，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DF、CF，

∵∠ABC=90°，AF⊥AB，
∴AF∥CE，
∵AF=BD，CE=BD，
∴AF=CE，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴FC∥AE，
∴∠APD=∠FCD，
∵DF=DC，∠FDC=90°．
∴∠FCD=45°，
∴∠APD=45°．
故答案为：45．

点评 本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是作出辅助线，得出四边形AFCE为平行四边形．