Question

【题目】如图四边形ABCD是菱形，且∠ABC=60，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，则下列五个结论中正确的是（ ）
①若菱形ABCD的边长为1，则AM+CM的最小值1；
②△AMB≌△ENB；
③S四边形AMBE=S四边形ADCM；
④连接AN，则AN⊥BE；
⑤当AM+BM+CM的最小值为2 时，菱形ABCD的边长为2．

A.①②③
B.②④⑤
C.①②⑤
D.②③⑤

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，BD⊥AC，AO=BO
∴点A，点C关于直线BD对称，
∴M点与O点重合时AM+CM的值最小为AC的值
∵∠ABC=60，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵AB=1，
∴AC=1，
即AM+CM的值最小为1，故本答案正确．
②∵△ABE是等边三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60°．
∵∠MBN=60°，
∴∠MBN﹣∠ABN=∠ABE﹣∠ABN．
即∠MBA=∠NBE．
又∵MB=NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS），故本答案正确．
③∵S△ABE+S△ABM=S四边形AMBE
S△ACD+S△AMC=S四边形ADCM ， 且S△AMB≠S△AMC ，
∴S△ABE+S△ABM≠S△ACD+S△AMC ，
∴S四边形AMBE≠S四边形ADCM ， 故本答案错误．
④假设AN⊥BE，且AE=AB，
∴AN是BE的垂直平分线，
∴EN=BN=BM=MN，
∴M点与O点重合，
∵条件没有确定M点与O点重合，故本答案错误．
⑤如图，连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM=EN，
∵∠MBN=60°，MB=NB，
∴△BMN是等边三角形．
∴BM=MN．
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．（10分）
根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．
过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF=180°﹣120°=60°，设菱形的边长为x，
∴BF= x，EF= x，在Rt△EFC中，
∵EF2+FC2=EC2 ，
∴ + = ，解得x=2，故本答案正确．
综上所述，正确的答案是：①②⑤，
故选C．

（1）连接AC，根据“两点之间线段最短”，可得，当M点落在BD的中点时，AM+CM的值最小；（2）由题意得MB=NB，∠ABN=30°，所以∠EBN=30°，容易证出△AMB≌△ENB；（3）连接AC，可以得到S△ABE=S△ADC ， S△AMB≠S△AMC ， 从而可以得出结论．（4）假设AN⊥BE，根据等腰三角形的性质及垂直平分线的性质得出EN=BN，从而得出结论．（5）根据“两点之间线段最短”，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长，（如图）作辅助线，过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，由题意求出∠EBF=60°，设菱形的边长为x，在Rt△EFC中，根据勾股定理求得菱形的边长．