Question

16．已知：关于x的一元二次方程$\frac{a}{3}$x²-ax+x+$\frac{2}{3}$a-1=0（a为实数）．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；
（2）若a为整数，且方程的两个根均为正整数，求a的值；
（3）取（2）中a的最小值，此时方程的两个根是直角三角形的两边长度，求第三边长．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程的定义得a≠0，再计算判别式的值，然后解关于a的不等式得到a的范围；
（2）先利用求根公式得到x₁=1，x₂=2-$\frac{3}{a}$，然后根据有理数的整除性可判断a的值；
（3）分类讨论：3为斜边和3不是斜边，利用勾股定理计算第三边．

解答 解：（1）$\frac{a}{3}$≠0，即a≠0，
△=（1-a）²-4×$\frac{a}{3}$×（$\frac{2}{3}$a-1）
=$\frac{1}{9}$a²-$\frac{2}{3}$a+1
=$\frac{1}{9}$（a-3）²，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴$\frac{1}{9}$（a-3）²＞0，
∴a-3≠0，解得a≠3，
∴a的取值范围为a≠0且a≠3；
（2）x=$\frac{a-1±\frac{1}{3}（a-3）}{2×\frac{a}{3}}$，
所以x₁=1，x₂=$\frac{2a-3}{a}$=2-$\frac{3}{a}$，
∵a为整数，1-$\frac{3}{a}$为正整数，
∴a=-1或a=-3；
（3）当a=-3时，x₁=1，x₂=3，
当1和3为直角边时，第三边的长=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$；
当3为斜边时，第三边的长=$\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．解决（2）小题的关键是利用公式法求出两根，利用有理数的整除性求a的值．