Question

4．如图所示，分别以Rt△ABC的直角边AC，斜边AB为边向△ABC外构造等边△ACD和等边△ABE，F为AB的中点，连接DF，EF，∠ACB=90°，∠ABC=30°．有下列四个结论：①AC⊥DF；②四边形BCDF为平行四边形；③DA+DF=BE；④$\frac{{S}_{△ACD}}{{S}_{四边形BCDE}}$=$\frac{1}{6}$．其中正确的结论是①②（填写正确结论的序号）．

Answer 1

分析 根据平行四边形的判定定理判断②，根据平行四边形的性质和平行线的性质判断①，根据三角形三边关系判断③，根据等边三角形的性质分别求出△ACD、△ACB、△ABE的面积，计算即可判断④．

解答 解：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠BAC=60°，AC=$\frac{1}{2}$AB，
∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴∠ACD=∠BAC，
∴CD∥AB，
∵F为AB的中点，
∴BF=$\frac{1}{2}$AB，
∴BF∥AB，CD=BF，
∴四边形BCDF为平行四边形，②正确；
∵四边形BCDF为平行四边形，
∴DF∥BC，又∠ACB=90°，
∴AC⊥DF，①正确；
∵DA=CA，DF=BC，AB=BE，BC+AC＞AB
∴DA+DF＞BE，③错误；
设AC=x，则AB=2x，
S_△ACD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²，S_△ACB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²，S_△ABE=$\sqrt{3}$x²，
$\frac{{S}_{△ACD}}{{S}_{四边形BCDE}}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^{2}}{\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}+\sqrt{3}{x}^{2}}$=$\frac{1}{7}$，④错误，
故答案为：①②．

点评 本题考查的是平行四边形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形、等边三角形的有关计算是解题的关键．