Question

16．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：CE²=EH•EA；
（3）若⊙O的半径为$\frac{5}{2}$，sinA=$\frac{3}{5}$，求BH的长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，欲证明BD是切线，只要证明AB⊥BD即可；
（2）连接AC，如图2所示，欲证明CE²=EH•EA，只要证明△CEH∽△AEC即可；
（3）连接BE，如图3所示，由CE²=EH•EA，可得EH=$\frac{9}{4}$，在Rt△BEH中，根据BH=$\sqrt{B{E}^{2}+E{H}^{2}}$，计算即可；

解答 （1）证明：如图1中，

∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，
∴∠ODB=∠ABC，
∵OF⊥BC，
∴∠BFD=90°，
∴∠ODB+∠DBF=90°，
∴∠ABC+∠DBF=90°，
即∠OBD=90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线；

（2）证明：连接AC，如图2所示：

∵OF⊥BC，
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，
∴∠CAE=∠ECB，
∵∠CEA=∠HEC，
∴△CEH∽△AEC，
∴$\frac{CE}{EH}$=$\frac{EA}{CE}$，
∴CE²=EH•EA；

（3）解：连接BE，如图3所示：

∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵⊙O的半径为$\frac{5}{2}$，sin∠BAE=$\frac{3}{5}$，
∴AB=5，BE=AB•sin∠BAE=5×$\frac{3}{5}$=3，
∴EA=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=4，
∵$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，
∴BE=CE=3，
∵CE²=EH•EA，
∴EH=$\frac{9}{4}$，
∴在Rt△BEH中，BH=$\sqrt{B{E}^{2}+E{H}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{9}{4}）^{2}}$=$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查圆综合题、切线的判定和性质、垂径定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．