Question

12．如图，在△ABC中，AC=BC=10，AB=16，点P在边AB上（不与点A，B重合），作∠CPQ=∠A，PQ交BC于Q，设AP=x，BQ=y．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）当x取何值时，△PCQ是等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）由AC=BC，得到∠A=∠B，根据∠CPQ=∠A，求得∠ACP=∠BPQ，于是得到△ACP∽△QPB，得到比例式$\frac{AC}{PB}=\frac{AP}{BQ}$，代入数据即可得到结论．
（2）①当PC=PQ时，根据相似三角形的性质得到$\frac{AC}{PB}=\frac{PC}{PQ}$=1，于是得到AP=x=6，②当PC=CQ时，得到∠CPQ=∠CQP=∠A=∠B，推出这种情况不存在；③当PQ=CQ时，根据等腰三角形的性质得到∠CPQ=∠PCQ=∠A=∠B，得到PC=PB，根据$\frac{AC}{PB}=\frac{PC}{PQ}$，代入数据即可得到结论．

解答 解：（1）∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵∠CPQ=∠A，
∴∠ACP=180°-∠A-∠APC，∠QPB=180°-∠CPQ-∠APC，
∴∠ACP=∠BPQ，
∴△ACP∽△QPB，
∴$\frac{AC}{PB}=\frac{AP}{BQ}$，
即$\frac{10}{16-x}=\frac{x}{y}$，
∴y=-$\frac{1}{10}$x²+$\frac{8}{5}$x；

（2）①当PC=PQ时，
∵△ACP∽△QPB，
∴$\frac{AC}{PB}=\frac{PC}{PQ}$=1，
∴PB=AC=10，
∴AP=x=6，
②当PC=CQ时，
∴∠CPQ=∠CQP=∠A=∠B，
∴PQ∥AB，
∴这种情况不存在；
③当PQ=CQ时，
∴∠CPQ=∠PCQ=∠A=∠B，
∴PC=PB，
∴$\frac{AC}{PB}=\frac{PC}{PQ}$，
即$\frac{10}{10-x}=\frac{10-x}{10-y}$，$\frac{10}{16-x}=\frac{16-x}{10-y}$，
∴x=$\frac{39}{4}$，
∴当x=6或$\frac{39}{4}$时，△PCQ是等腰三角形．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，求二次函数的解析式，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．