Question

10．如图，在矩形ABCD中，CD=1，MN垂直平分CD交AB于点M，交CD于点N，沿CQ将矩形纸片ABCD折叠使点D落在MN上点P处，求以PQ为边长的正方形的面积．

Answer 1

分析 作辅助线OQ⊥MN，结合已知条件可以推出NC，CP，PN，OP，ON的长度，在直角三角形POQ中，根据勾股定理得PQ²=PO²+OQ²，通过等量转换直接求PQ²的值，即是以PQ为边长的正方形面积．

解答 解：如图，作QO⊥PN于O点，
∵CD=1，MN垂直平分CD交AB于点M，
∴CN=DN=$\frac{1}{2}$，∠CNM=90°，
∵沿CQ将矩形纸片ABCD折叠使点D落在MN上点P处，
∴CP=CD=1，DQ=PQ=ON，
∴PN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
设PQ=x，则DQ=ON=x，
∴PO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-x，
∵PQ²=PO²+OQ²，
∴x²=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$-x）²+（$\frac{1}{2}$）²，
∴x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴PQ²=$\frac{1}{3}$，
∴PQ为边长的正方形面积为$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键，本题难点在于作辅助线构造出直角三角形并两次利用勾股定理．