Question

（2012•长春一模）如图，梯形OABC中，OA在x轴上，CB∥OA，∠OAB=90°，O为坐标原点，B（4，4），BC=2，动点Q从点O出发，以每秒1个单位的速度沿线段OA运动，到点A停止，过点Q作QP⊥x轴交折线O-C-B于点P，以PQ为一边向右作正方形PQRS，设运动时间为t（秒），正方形PQRS与梯形OABC重叠面积为S（平方单位）
（1）求tan∠AOC；
（2）求S与t的函数关系式；
（3）求（2）中的S的最大值；
（4）连接AC，AC的中点为M，请直接写出在正方形PQRS变化过程中，t为何值时，△PMS为等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）过C作CD⊥x轴于D，由B的坐标得出AB的长，再由C的坐标得出OD的长，根据四边形ABCD为矩形，得到对边相等，即CD=AB，在直角三角形OCD中，利用锐角三角函数定义表示出tan∠AOC；
（2）根据Q的位置分三种情况考虑：当0≤x≤

4

3

时；当

4

3

≤x≤2时；当2≤x≤4时；讨论求得S与t的函数关系式；
（3）由（2）得出的S与t的关系式，利用一次函数及二次函数的性质求出三个函数的最大值，比较后即可求出S的最大值；
（4）分三种情况考虑：PS=MS；MP=MS；PS=PM，列出方程即可得到t的值．

解答：解：（1）过C作CD⊥x轴于D，则OD=2，CD=4，
则tan∠AOC=2；

（2）当运动到R与A重合时，此时OQ=t，AQ=PQ=4-t
则tan∠AOC=

PQ

OQ

=

4-t

t

=2，
解得t=

4

3

．
当0≤x≤

4

3

时，S=PQ²=（2OQ）²=（2t）²=4t²；
当

4

3

≤x≤2时，S=PQ•AQ=2t•（4-t）=-2t²+8t；
当2≤x≤4时，S=4 AQ=4（4-t）=-4t+16；

（3）当0≤x≤

4

3

时，t=

4

3

时，t最大=

64

9

；
当

4

3

≤x≤2时，t=2，t_最大=8；
当2≤x≤4时，t=2，t_最大=8；
综上，t=2时S最大=8．

（4）当t1=

13-2 13

9

，t2=

3

2

，t₃=2

3

-1时，△PMS为等腰三角形．

点评：此题考查了相似形综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，锐角三角函数定义，正方形的性质，以及一次函数与二次函数的性质，利用了数形结合及分类讨论的数学思想，是一道较难的压轴题．