Question

如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD+BC，E为 CD的中点，连接AE、BE，并延长 AE交BC的延长线于点 F.     

求证：(1)BE平分∠ABC；    
(2)AE⊥BE.

Answer 1

证明：(1) ∵AD//BC，
∴∠DAE=∠F.     
又∠AED =∠ CEF，DE=EC  
∴△ADE≌△FCE.
∴AE= EF，AD=FC.     
∴AD+BC=CF+BC=BF.    
又AD + BC =AB.    
∴AB = BF.    
∴BE是等腰△ABF底边上的中线.    
∴BE平分∠ABC(三线合一).     
(2) ∵AB=BF.
∴F=BAE.     
又∠F=∠DAE，∠BAE=∠DAE，    
∴AE平分∠BAD.     
∴∠BAE+∠ABE= (∠BAD+∠ABC).    
又∵AD//BC，
∴∠BAD+∠ABC= 180°.    
∴∠BAE＋∠ABE=90°.    
∴∠AEB=90°.
∴AE⊥BE.