Question

如图，已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接AF．
（1）求证：AD=CF；
（2）在原有条件不变的情况下，请你再添加一个条件（不再增添辅助线），使四边形AFCD成为菱形，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：在△DEA和△FEC中，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠FCE，∠ADE=∠EFC．
又∵E为AC的中点，
∴AE=CE．
∴△DEA≌△FEC．
∴AD=CF．

（2）添加DA=DC．
证明：∵AD∥BC，
又∵AD=CF，
∴四边形AFCD为平行四边形．
又∵DA=DC，
∴四边形AFCD为菱形．
分析：（1）∵AD∥BC，∴∠DAE=∠FCE．∠ADE=∠EFC，∵E为AC的中点，∴AE=CE．利用AAS证得△DEA≌△FEC．∴AD=CF；
（2）若四边形AFCD成为菱形，则应证四边形AFCD是平行四边形，因而加一组邻边相等即可，如：DA=DC．
点评：本题利用了：（1）两直线平行，内错角相等；（2）全等三角形的判定和性质；（3）平行四边形和菱形的判定．