Question

规律：
如图1，直线m∥n，A、B为直线n上的点，C、P为直线m上的点．如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么无论点P移动到何位置，△ABP与△ABC的面积总相等，其理由是______．
应用：
（1）如图2，△ABC和△DCE都是等边三角形，若△ABC的边长为1，则△BAE的面积是______．
（2）如图3，四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，若正方形ABCD的边长为4，求△ACF的面积．
（3）如图4，五边形ABCDE和五边形BFGHP都是正五边形，若正五边形ABCDE的边长为a，求△ACH的面积（结果不求近似值）．

Answer 1

解：由题意可得，无论P点移动到任何位置总有△PAB与△ABC的面积相等．
理由是同底等高的两个三角形面积相等．

（1）∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴∠BAC=∠DCE=60°，
∴AB∥CE，
∴△BAE的面积=△ABC的面积=；

（2）连接BF．
∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，
∴∠BAC=∠BFE=45°，
∴AC∥BF，
∴△ACF的面积=△ABC的面积=×正方形ABCD的面积=8；

（3）连接BH．
∵五边形ABCDE和五边形BFGHP都是正五边形，
∴∠ABC=∠P=108°，AB=BC，BP=PH，
∴∠ACB=∠PBH=36°，
∴AC∥BH，
∴△ACH的面积=△ABC的面积=a²sin72°．
分析：因为三角形的面积等于底与高乘积的一半，而两平行线之间的距离处处相等，所以根据题意知△PAB和△ABC是同底等高的两个三角形，它们的面积相等．
（1）先根据等边三角形的性质得出∠BAC=∠DCE=60°，再由平行线的判定得出AB∥CE，然后根据规律：同底等高的两个三角形面积相等，得出△BAE的面积等于△ABC的面积；
（2）连接BF，先根据正方形的性质得出∠BAC=∠BFE=45°，再由平行线的判定得出AC∥BF，然后根据规律：同底等高的两个三角形面积相等，得出△ACF的面积等于△ABC的面积；
（3）连接BH，先根据正五边形的性质得出∠ABC=∠P=108°，AB=BC，BP=PH，再由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得出∠ACB=∠PBH=36°，然后由平行线的判定得出AC∥BH，从而根据规律：同底等高的两个三角形面积相等，得出△ACH的面积等于△ABC的面积．
点评：本题主要考查等边三角形、正方形、正五边形的性质及面积公式，属于数形结合题．都是根据等底等高的三角形面积相等求解．