Question

如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AM⊥AD交直线BC于M，若∠BAC=36°，BM=AB+AC．求∠ABC的度数．

Answer 1

解：延长BA到N，使得AN=AC，连接MN，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD=∠BAC=18°，
∵AM⊥AD，
∴∠MAD=90°，
∴∠BAM=90°-18°=72°，
∴∠MAN=180°-∠MAB=180°-72°=108°，
∵∠MAC=90°+18°=108°，
∴∠MAN=∠MAC，
∵AM=AM，AN=AC，
∴△MAN≌△MAC，
∴∠C=∠N，∠NMA=∠CMA，
∵BM=AB+AC，AN=AC，
∴BM=BN，
∴∠N=∠NMB=2∠AMC，
∴∠C=2∠AMC，
∵∠C+∠AMC+∠MAC=180°，
∴3∠AMC=180°-108°=72°，
∴∠AMC=24°，
∴∠ABC=∠AMC+∠MAB=72°+24°=96°，
答：∠ABC的度数是96°．
分析：根据题意延长BA到N，使得AN=AC，连接MN，求出∠NAM=∠MAC=108°，证△MAN≌△MAC，推出∠C=∠N，∠NMA=∠CMA，根据等腰三角形性质求出∠C=2∠AMC，根据三角形内角和定理求出∠AMC，根据三角形外角性质即可求出答案．
点评：本题主要考查对等腰三角形性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．