Question

在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE=CD，EF∥AD交AB于F点，交CA的延长线于P，CH∥AB交AD的延长线于点H，
①求证：△APF是等腰三角形；     
②猜想AB与PC的大小有什么关系？证明你的猜想．

Answer 1

分析：①根据题意作出图形，根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠4，同位角相等可得∠2=∠P，再根据角平分线的定义可得∠1=∠2，然后求出∠4=∠P，根据等角对等边的性质即可得证；
②根据两直线平行，内错角相等可得∠5=∠B，再求出∠H=∠1=∠3，然后利用“AAS”证明△BEF和△CDH全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=CH，再求出AC=CH，再根据AB=AF+BF，PC=AP+AC，整理即可得解．

解答：①证明：∵EF∥AD，
∴∠1=∠4，∠2=∠P，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴∠4=∠P，
∴AF=AP，
即△APF是等腰三角形；

②AB=PC．理由如下：
证明：∵CH∥AB，
∴∠5=∠B，∠H=∠1，
∵EF∥AD，
∴∠1=∠3，
∴∠H=∠3，
在△BEF和△CDH中，
∵

∠5=∠B ∠H=∠3 BE=CD

，
∴△BEF≌△CDH（AAS），
∴BF=CH，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠H，
∴AC=CH，
∴AC=BF，
∵AB=AF+BF，PC=AP+AC，
∴AB=PC．

点评：本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，以及平行线的性质，题目较为复杂，熟记性质与判定是解题的关键，作出图形更形象直观．