Question

2．给出下列算式：
3²-1²=8=8×1；
5²-3²=16=8×2；
7²-5²=24=8×3；
9²-7²=32=8×4．
（1）观察上面一系列式子，你能发现什么规律？用含n的式子表示出来（n为正整数）．
（2）试利用第（1）题一系列反应规律的算式，能求出1+2+3+…+n（n为正整数）的公式．

Answer 1

分析 （1）两个连续奇数的平方差等于8的倍数，由此得出第n个等式为（2n+1）²-（2n-1）²=8n，由此解决问题即可；
（2）利用（1）中的规律求得答案即可．

解答 解：（1）∵3²-1²=8=8×1；
5²-3²=16=8×2：
7²-5²=24=8×3；
9²-7²=32=8×4
…
∴第n个等式为（2n+1）²-（2n-1）²=8n；
（2）把（1）中的两边的式子相加得
8×（1+2+3+4+…+n）=（2n+1）²-1²
1+2+3+4+…+n=$\frac{2n（2n+2）}{8}$=$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 此题考查数字的变化规律，根据数字的特点，得出运算的规律，利用规律解决问题．