Question

已知直线y=kx+b与直线y=-3x平行且过点（3，3）．
（1）求k，b的值；
（2）若直线y=kx+b分别与x，y轴交于点A，B．若点P（x，y）在直线AB上，且△POB为等腰三角形．求出所有符合条件的P的坐标．

Answer 1

考点：两条直线相交或平行问题

专题：

分析：（1）根据直线y=kx+b与直线y=-3x平行且过点（3，3），直接代入求出k、b的值；
（2）先求出点A，B的坐标和OB、OA、AB的长，再分当BP₁=B0时，当BP₂=0P₂时，当BP₃=B0时，当OP₄=B0时，△POB为等腰三角形四种情况讨论，分别进行计算即可求出P的坐标．

解答：解：（1）∵直线y=kx+b与直线y=-3x平行且过点（3，3），
∴k=-3，3=3k+b，
∴b=12；
（2）∵直线y=-3x+12分别与x，y轴交于点A，B，
∴点A，B的坐标分别为：（4，0），（0，12），
∴OB=12，OA=4，
∴AB=4

10

，
如图；
当BP₁=B0时，△POB为等腰三角形，过P₁作P₁C⊥x轴，
则

AB

AP1

=

BO

CP1

，

AB

BP1

=

AO

CO

，

4 10

4 10 +12

=

12

CP1

，

4 10

12

=

4

CO

，
CP₁=12+

18

5

10

，CO=

6 10

5

，
此时点P的坐标是（-

6 10

5

，12+

18

5

10

）；
当BP₂=0P₂时，△POB为等腰三角形，
则点P₂在OP的垂直平分线上，则点P₂的纵坐标是6，横坐标是2，
此时点P的坐标是（2，6）；
当BP₃=B0时，△POB为等腰三角形，过P₃作P₃D⊥y轴，
则

BD

BO

=

BP3

BA

=

P3D

AO

，

BD

12

=

12

4 10

=

P3D

4

，
BD=

18 10

5

，P₃D=

9 10

10

，
则OD=12-

18 10

5

，
此时点P的坐标是（

9 10

10

，12-

18 10

5

）；
当OP₄=B0时，△POB为等腰三角形，过P₄作P₄E⊥y轴，设P₄点的横坐标为m，则P₄E=m，BE=3m，
则m²+（3m-12）²=12²，
解得：m=0（舍去）或m=9，
此时点P的坐标是（9，-15）；
综上所述，点P的坐标是（-

6 10

5

，12+

18

5

10

）、（2，6）、（

9 10

10

，12-

18 10

5

）、（9，-15）．

点评：此题考查了两直线平行问题；用到的知识点为：两直线平行、比例系数相等、勾股定理、平行线分线段成比例定理，注意把点P的所有坐标都求出．