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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作半圆⊙O,交BC于点D,连接AD、过点D作DE⊥AC,垂足为点E,交AB的延长线于点F.

(1)求证:EF是⊙O的切线;

(2)求证:△FDB∽△FAD;

(3)如果⊙O的半径为5,sin∠ADE=,求BF的长.

【答案】解:(1)证明:如图,连接OD

∵AB⊙O的直径,∴∠ADB=90°

∴AD⊥BC

∵AB=AC∴AD平分BC,即DB=DC

∵OA=OB∴OD△ABC的中位线。

∴OD∥AC

∵DE⊥AC∴OD⊥DE

∵OD⊙O的半径,∴EF⊙O的切线。

2∵∠DAC=∠DAB∴∠ADE=∠ABD

RtADB中,

∵AB=10∴AD=8

RtADE中,

∵OD∥AE∴△FDO∽△FEA

,即,解得

【解析】试题分析:(1)连接ODAB⊙0的直径得∠ADB=90°,由AB=AC,根据等腰三角形性质得AD平分BC,即DB=DC,则OD△ABC的中位线,所以OD∥AC,而DE⊥AC,则OD⊥DE,然后根据切线的判定方法即可得到结论;

2)利用两角对应相等的两三角形相似进行证明即可.

3)由DAC=DAB,根据等角的余角相等得ADE=ABD,在RtADB中,利用解直角三角形的方法可计算出AD=8,在RtADE中可计算出AE=,然后由ODAE,得FDO∽△FEA,再利用相似比可计算出BF

试题解析:(1)证明:连接OD,如图,

∵AB⊙0的直径,

∴∠ADB=90°

∴AD⊥BC

∵AB=AC

∴AD平分BC,即DB=DC

∵OA=OB

∴OD△ABC的中位线,

∴OD∥AC

∵DE⊥AC

∴OD⊥DE

∴EF⊙0的切线;

2)证明:∵EF⊙O的切线,

∴∠ODB+∠BDF=90°

∵OD=OB

∴∠OBD=∠ODB

∴∠OBD+∠BDF=90°

∵AB⊙O的直径,

∴∠ADB=90°

∴∠DAB+∠OBD=90°

∴∠DAB=∠BDF

∵∠BFD=∠DFA

∴△FDB∽△FAD

3∵∠DAC=∠DAB

∴∠ADE=∠ABD

RtADB中,sinADE=sinABD=,而AB=10

∴AD=8

RtADE中,sinADE=

AE=

∵OD∥AE

∴△FDO∽△FEA

BF=

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