Question

【题目】如图，已知，为的直径，过点作弦垂直于直径于，点恰好为的中点，连接，．

（1）求证：；

（2）若，求的半径；

（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）的半径为2；（3）．

【解析】

（1）连接BD，根据圆周角定理得出∠CBD=∠AEB=90°，∠A=∠C，进而求得∠ABE=∠CDB，得出，即可证得结论；
（2）根据垂径定理和圆周角定理易求得∠A=∠ABE，得出∠A=30°，解直角三角形求得AB，即可求得⊙O的半径；
（3）根据S阴=S扇形-S△EOB求得即可．

（1）证明：连接，

∵，为的直径，

∴，

∵点恰好为的中点，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴；

（2）解：∵过点作弦垂直于直径于，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

在中，，

∴，

∴的半径为2．

（3）连接，

∵，

∴，

∴是等边三角形，

∵，

∴，

∴．