Question

【题目】如图，菱形ABCD的边长为2，且∠ABC＝120°，E是BC的中点，P为BD上一点，且△PCE的周长最小，则△PCE的周长的最小值为（　　）

A.+1B.+1C.2+1D.2+1

Answer 1

【答案】B

【解析】

由菱形ABCD中，∠ABC＝120°，易得△BCD是等边三角形，继而求得∠ADE的度数；连接AE，交BD于点P；首先由勾股定理求得AE的长，即可得△PCE周长的最小值＝AE+EC．

解：∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，

∴BC＝CD＝AD＝2，∠C＝180°﹣∠ABC＝60°，∠ADC＝∠ABC＝120°，

∴∠ADB＝∠BDC＝∠ADC＝60°，

∴△BCD是等边三角形，

∵点E是BC的中点，

∴∠BDE＝∠BDC＝30°，

∴∠ADE＝∠ADB+∠BDE＝90°，

∵四边形ABCD是菱形，

∴BD垂直平分AC，

∴PA＝PC，

∵△PCE的周长=，

若△PCE的周长最小，即PC+PE最小，也就是PA+PE最小，即A，P，E三点共线时，

∵DE＝CDsin60°＝，CE＝BC＝1，

∴在Rt△ADE中，，

∴△PCE周长为：PC+PE+CE＝PA+PE+CE＝AE+CE＝，

故选：B．