Question

如图，一次函数y=k₁x+b的图象经过A（0，-2），B（1，0）两点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为M，若△OBM的面积为2．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵直线y=k₁x+b过A（0，-2），B（1，0）两点
∴，
∴
∴一次函数的表达式为y=2x-2．（3分）
∴设M（m，n），作MD⊥x轴于点D
∵S_△OBM=2，
∴，
∴
∴n=4（5分）
∴将M（m，4）代入y=2x-2得4=2m-2，
∴m=3
∵M（3，4）在双曲线上，
∴，
∴k₂=12
∴反比例函数的表达式为

（2）过点M（3，4）作MP⊥AM交x轴于点P，
∵MD⊥BP，
∴∠PMD=∠MBD=∠ABO
∴tan∠PMD=tan∠MBD=tan∠ABO==2（8分）
∴在Rt△PDM中，，
∴PD=2MD=8，
∴OP=OD+PD=11
∴在x轴上存在点P，使PM⊥AM，此时点P的坐标为（11，0）（10分）
分析：（1）根据一次函数y=k₁x+b的图象经过A（0，-2），B（1，0）可得到关于b、k₁的方程组，进而可得到一次函数的解析式，设M（m，n）作MD⊥x轴于点D，由△OBM的面积为2可求出n的值，将M（m，4）代入y=2x-2求出m的值，由M（3，4）在双曲线上即可求出k₂的值，进而求出其反比例函数的解析式；
（2）过点M（3，4）作MP⊥AM交x轴于点P，由MD⊥BP可求出∠PMD=∠MBD=∠ABO，再由锐角三角函数的定义可得出OP的值，进而可得出结论．
点评：本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到的知识点为用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式、锐角三角函数的定义，熟知以上知识是解答此题的关键．