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设a是正整数,二次函数y=x2+(a+17)x+38-a,反比例函数y=
56x
,如果两个函数的图象的交点都是整点(横坐标和纵坐标都是整数的点),求a的值.
分析:先联立两方程,得到关于x的一元二次方程,把此方程分解为两个因式积的形式,再根据一元二次方程根的判别式即可求解.
解答:解:联立方程组
y=x2+(a+17)x+38-a
y=
56
x
消去y得,x2+(a+17)x+38-a=
56
x

即x3+(a+17)x2+(38-a)x-56=0,
当x=1时,x3+(a+17)x2+(38-a)x-56=0,
∴式子x3+(a+17)x2+(38-a)x-56中含有因式(x-1),
分解因式得(x-1)[x2+(a+18)x+56]=0,(1)
显然x1=1是方程(1)的一个根,(1,56)是两个函数的图象的一个交点.
因为a是正整数,所以关于x的方程x2+(a+18)x+56=0,(2)
其判别式△=(a+18)2-224>0,它一定有两个不同的实数根.
而两个函数的图象的交点都是整点,所以方程(2)的根都是整数,
因此它的判别式△=(a+18)2-224应该是一个完全平方数.
设(a+18)2-224=k2(其中k为非负整数),则(a+18)2-k2=224,即(a+18+k)(a+18-k)=224.
显然a+18+k与a+18-k的奇偶性相同,且a+18+k≥18,而224=112×2=56×4=28×8,
所以
a+18+k=112
a+18-k=2
a+18+k=56
a+18-k=4
a+18+k=28
a+18-k=8
解得
a=39
k=55
a=12
k=26
a=0
k=10

而a是正整数,所以只可能
a=39
k=55
a=12
k=26.

故答案为:a=39或a=12.
点评:本题考查的是二次函数与反比例函数的交点问题、根的判别式、整数的奇偶性,涉及面较广,难度较大.
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