Question

3．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，
（1）求证：∠DHO=∠DCO．
（2）若OC=4，BD=6，求菱形ABCD的周长和面积．

Answer 1

分析 （1）先根据菱形的性质得OD=OB，AB∥CD，BD⊥AC，则利用DH⊥AB得到DH⊥CD，∠DHB=90°，所以OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，得到OH=OD=OB，利用等腰三角形的性质得∠1=∠DHO，然后利用等角的余角相等证明结论；
（2）先根据菱形的性质得OD=OB=$\frac{1}{2}$BD=3，OA=OC=4，BD⊥AC，再根据勾股定理计算出CD，然后利用菱形的性质和面积公式求菱形ABCD的周长和面积．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD=OB，AB∥CD，BD⊥AC，
∵DH⊥AB，
∴DH⊥CD，∠DHB=90°，
∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，
∴OH=OD=OB，
∴∠1=∠DHO，
∵DH⊥CD，
∴∠1+∠2=90°，
∵BD⊥AC，
∴∠2+∠DCO=90°，
∴∠1=∠DCO，
∴∠DHO=∠DCO；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD=OB=$\frac{1}{2}$BD=3，OA=OC=4，BD⊥AC，
在Rt△OCD中，CD=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴菱形ABCD的周长=4CD=20，
菱形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$×6×8=24．

点评 本题考查了菱形的性质：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．熟练掌握菱形的性质（菱形具有平行四边形的一切性质； 菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角）． 解决（1）小题的关键是判断OH为直角三角形斜边上的中线．