Question

如图正方形ABCD中，E，F分别为CD，DA的中点，BE，CF相交于点O，现有四个选择项（1）BE=CF，（2）BE⊥CF，（3）CE=DF，（4）∠EBC=∠FCD，这四个结论中，正确的有哪几个，请任选一个说明你的理由．

Answer 1

解：正确的结论有（1），（2），（3），（4）．
选一种证明就行如：选（1）结论为：BE=CF，
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=BC=CD，∠CDF=∠BCE=90°，
又∵E，F分别为CD，DA的中点，
∴DF=AD，CE=CD，
∴DF=CE，
在Rt△BCE和Rt△CDF中，

∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴BE=CF．
分析：正确的结论有（1），（2），（3），（4）．
理由如下：由四边形ABCD为正方形，根据正方形的性质（四条边相等，四个角都是直角）可得：AD=BC=CD，∠CDF=∠BCE=90°，又根据题中已知E，F分别为CD，DA的中点，得到一对短直角边的相等，得到了结论（3）的正确，同时根据“SAS”证得了三角形BCE和三角形CDF的全等，根据全等三角形的对应边相等，即可得到结论（1）的正确；再根据全等三角形的对应角也相等即可得到结论（4）正确，根据结论（4）中∠EBC=∠FCD，及∠FCD+∠BCO=90°，利用转化的数学思想可得∠EBC+∠BCO=90°，再利用三角形的内角和为180度，可得出∠BOC=90°，从而说明BE⊥CF，结论（2）正确．
点评：此题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，是一道结论开放型题，此类题是思维的发散，也是思维的开放，有三个特点：1、试题内容的新颖性；2、问题形式的生动性；3、问题解决的发散性，要求学生综合运用观察、想象，实验、类比、分类、归纳、猜想、推理、概括等思维方式，同时探索多个解题方向，运用创造性思维，获得多种途径，最终解决问题．