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【题目】如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动,点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.

(1)如果P、Q同时出发,几秒钟后,可使△PCQ的面积为8平方厘米?
(2)是否存在某一时刻,使△PCQ的面积等于△ABC面积的一半,并说明理由.
(3)点P、Q在移动过程中,是否存在某一时刻,使得△PCQ的面积达到最大值,并说明利理由.

【答案】
(1)

解:设x秒钟后,可使△PCQ的面积为8平方厘米,

由题意得: (6﹣x)2x=8,

x=2或x=4,

当2秒或4秒时,面积可为8平方厘米


(2)

解:不存在.

理由:设y秒时,△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半,

由题意得: (6﹣y)2y= × ×6×8,

整理,得y2﹣6y+12=0,

△=36﹣4×12<0.

方程无解,所以不存在


(3)

解:设△PCQ的面积为w,

则w=(6﹣x)×2x× =﹣x2+6x=﹣(x﹣3)2+9

∵a=﹣1<0,

∴w有最大值,最大值为9cm2


【解析】(1)根据三角形的面积公式列出方程,解方程即可;(2)根据题意列出方程,根据一元二次方程根的判别式解答;(3)利用配方法把二次函数解析式进行变形,根据二次函数的性质解答.
【考点精析】认真审题,首先需要了解二次函数的性质(增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小).

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材料:顶点在圆上,一边与圆相交,另一边与圆相切的角叫做弦切角.如图1,弧 是弦切角∠PAB所夹的弧,他发现弦切角与它所夹的弧所对的圆周角有关系.

问题1:如图2,直线DB切⊙O于点A,∠PCA是圆周角,当圆心O位于边AC上时,
求证:∠PAD=∠PCA,请你写出这个证明过程.
问题拓展:
如果圆心O不在∠PCA的边上,∠PAD=∠PCA还成立吗?如图3,当圆心O在∠PCA的内部时,小明证明了这个结论是成立的.他的思路是:作直线AE,联结PE,由问题1的结论可知∠PAD=∠PEA,而∠PCA=∠PEA,从而证明∠PAD=∠PC.
问题2:如图4,当圆心O在∠PCA的外部时,∠PAD=∠PCA仍然成立.请你仿照小明的思路证明这个结论.
运用:如图5,AD是△ABC中∠BAC的平分线,经过点A的⊙O与BC切于点D,与AB、AC分别相交于E、F.求证:EF∥BC.(提示:可以直接使用本题中的结论)

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(1)x(x+4)=8x+12
(2)(x+3)2=25(x﹣1)2
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A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

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