Question

如图，在△ABC中，AB=AC．
（1）若O为AB的中点，以O为圆心，OB为半径的圆交BC于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E（如图①）．证明：DE是⊙O的切线；
（2）若点O沿OB向点B移动，以O为圆心，以OB为半径画圆，⊙O与AC相切于点F，与AB相交于点G，与BC相交于点D，DE⊥AC，垂足为E（如图②），已知⊙O的半径长为3，CE=1，求切线AF的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD；
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB．
又∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB．
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE．
∴DE与⊙O相切．

（2）解：连接OD，OF；
∵DE、AF是⊙O的切线，
∴OF⊥AC，OD⊥DE．
又∵DE⊥AC，
∴四边形ODEF为矩形．
∴OD=EF=3．
设AF=x，则AB=AC=x+3+1=x+4，AO=AB-OB=x+4-3=x+1
∵OF⊥AC，
∴AO²=OF²+AF²即：（x+1）²=9+x²解得x=4．
∴AF的长度为4．
分析：（1）连接OD，证OD⊥DE，即DE与⊙O相切；
（2）作辅助线，连接OD，AF，由DE、AF是⊙O的切线，DE⊥AC，可证四边形ODEF为矩形，根据AB=AC，可得：AO=AF+1，故在Rt△AOF中，运用勾股定理可将AF的值求出．
点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．