Question

11．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于45°，则这个三角形的顶角等于90°．

Answer 1

分析 此题要分两种情况推论：
①当等腰三角形的顶角是钝角或直角时，腰上的高在三角形的外部，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和；
②当等腰三角形的顶角是锐角时，根据直角三角形的两个锐角互余，求得底角，再根据三角形的内角和是180°，得顶角的度数．

解答 解：①如图1，△ABC中，AB=AC，CD⊥BA的延长线于点D，∠DCB=45°，
∵∠DCB=45°，CD⊥BA的延长线于点D，
∴∠B=90°-∠DCB=90°-45°=45°，
∴∠BAC=180°-2×45°=90°，是直角，符合；
②如图2，顶角是锐角时，
∵∠DCB=45°，
∴∠B=90°-45°=45°，
∴∠B＜∠ACB与已知相矛盾，故此种情况不存在．
故答案为：90°．

点评 本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；本题考查分情况讨论，但要注意，假设顶角是钝角，但求出后却是锐角，所以一定要舍去．