Question

如果二次函数y=ax²+bx+c的图象的顶点坐标是（2，4），且直线y=x+4依次与y轴和抛物线相交于P、Q、R三点，PQ：QR=1：3，则这个二次函数解析式为

 

．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：根据二次函数y=ax²+bx+c的图象的顶点坐标是（2，4），利用顶点法设该二次函数解析式为y=a（x-2）²+4．根据直线y=x+4依次与y轴和抛物线相交于P、Q、R三点，则可确定P点的坐标，并设Q、R点的坐标为（x₁，y₁）和（x₂，y₂）．根据两点间的距离公式与PQ：QR=1：3求得|x₂|与|x₁|的比值．直线y=x+4与抛物线相交于Q、R两点列出方程a（x-2）²+4=x+4，利用一元二次方程根与系数的关系，可求出x₁、x₂、a的值．因此抛物线即可确定．

解答：解：∵图象的顶点坐标是（2，4），
∴所以二次函数解析式为y=a（x-2）²+4      ①，
∵直线y=x+4依次与y轴和抛物线相交于P、Q、R三点，
∴P点的坐标是（0，4），设Q、R点的坐标为（x₁，y₁）和（x₂，y₂），则y₁=x₁+4，y₂=x₂+4，
∵|PQ|=

(x1-0)2+(y1-4)2

=

x12+x12

=

2

|x₁|，
|PR|=

(x22-0)2+(y2-4)2

=

x22+x22

=

2

|x₂|，
∵PQ：QR=1：3且P在QR之处，
∴PQ：PR=PQ：（PQ+QR）=1：4，

2

|x₁|：

2

|x₂|=1：4，
∴|x₂|=4|x₁|②，
又x₁，x₂是抛物线与直线交点的横坐标，
∴a（x-2）²+4=x+4，即ax²-（4a+1）x+4a=0，
∴a（x²-

4a+1

a

x+4）=0，
由韦达定理，

x1•x2=4 ; ; ;③ x1+x2= 4a+1 a ; ; ; ;④

，
由③得，x₁、x₂同号，再由②得      x₂=4x₁，
∴x₁=±1，x₂=±4，从④得a=1，或a=-

1

9

∴y=x²-4x+8或y=-

1

9

x²+

4

9

x+

32

9

，
故答案为：y=x²-4x+8或y=-

1

9

x²+

4

9

x+

32

9

．

点评：本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和相似三角形的性质、一元二次方程根与系数的关系．解题的关键是利用数形结合的数学思想方法．