Question

4．在数学活动中，小明遇到了求式子$\frac{1}{2}+$$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$的值（结果用n表示），他和同伴讨论设计了如图①所示的几何图形，想利用图形来求式子的值．
（1）利用图①，求$\frac{1}{2}+$$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$$+\frac{1}{{2}^{4}}$的值；
（2）经过思考，小明将图形①变成图形②，能求$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$的值吗？

Answer 1

分析 （1）用总面积减去剩下的面积即可得出答案；
（2）因为每一次分割都是前面图形的$\frac{1}{2}$，可以用总面积减去剩下的面积求得答案即可．

解答 解：（1）$\frac{1}{2}+$$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$$+\frac{1}{{2}^{4}}$
=1-$\frac{1}{{2}^{4}}$；
（2）能．
$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$
=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

点评 此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律，利用规律，解决问题．