Question

13．已知：如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，点E是BC的中点，连接DE．
（1）DE与⊙O是否相切？请说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形OBED是正方形？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用圆周角定理得出∠ADB=90°，进而得出∠EDB=∠EBD，从而得出∠ODE=∠OBD+∠EBD=90°，问题得证；
（2）由题意得出四边形OBED是矩形，即可得出结论．

解答 解：（1）DE与⊙O相切；理由如下：
连接OD、BD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
则∠CDB=90°，
点E为BC的中点，
∴ED=$\frac{1}{2}$BC=EB，
∴∠EDB=∠EBD，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠ODE=∠OBD+∠EBD=90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）当∠A=∠C=45°时，四边形OBED是正方形．理由如下：
∵∠A=45°时，OA=OD，
∴∠DOB=90°
∴∠DOB=∠OBE=∠ODE=90°，
∴四边形OBED是矩形．
又∵OB=OD，
∴四边形OBED是正方形

点评 此题主要考查了切线的判定定理、圆周角定理、正方形的判定方法、矩形的判定方法、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握切线的判定定理，证明四边形OBED是矩形是解决（2）的关键．