Question

如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作⊙O的切线交边BC于N．
（1）求证：△ODM∽△MCN；
（2）设DM=x，OA=R，求R关于x的函数关系式；
（3）在动点O逐渐向点D运动（OA逐渐增大）的过程中，△CMN的周长如何变化？说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵MN切⊙O于点M，
∴∠OMN=90°；
∵∠OMD+∠CMN=∠OMN=90°，
∴∠OMD+∠CMN=90°，∠CMN+∠CNM=90°；
∴∠OMD=∠MNC；
又∵∠D=∠C=90°；
∴△ODM∽△MCN；

（2）解：在Rt△ODM中，DM=x，设OA=OM=R；
∴OD=AD-OA=8-R，
由勾股定理得：（8-R）²+x²=R²，
∴64-16R+R²+x²=R²，
∴；

（3）解法一：∵CM=CD-DM=8-x，
又∵
且有△ODM∽△MCN，
∴，
∴代入得到；
同理，
∴代入得到；
∴△CMN的周长为P==（8-x）+（x+8）=16．
在点O的运动过程中，△CMN的周长P始终为16，是一个定值．
解法二：在Rt△ODM中，，
设△ODM的周长P′=；
而△MCN∽△ODM，且相似比；
∵，
∴△MCN的周长为P=．
在点O的运动过程中，△CMN的周长P始终为16，是一个定值．
分析：（1）根据切线的性质得出∠OMN=90，从而证得∠OMD=∠MNC；则△ODM∽△MCN；
（2）由DM=x，设OA=OM=R；则得出OD，由勾股定理得R与x的关系；
（3）可分为两种解法得出答案．由△ODM∽△MCN，得，用含x的式子表示出CN，MN，从而得出△CMN的周长是一个定值．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的性质以及切线的性质，是一道综合题，难度较大．