Question

如图，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，且BD=3，CD=2，则AD的长为

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理,正方形的性质

专题：

分析：如图，过B作BE⊥AC，垂足为E交AD于F，由∠BAC=45°可以得到BE=AE，再根据已知条件可以证明△AFE≌△BCE，可以得到AF=BC=10，而∠FBD=∠DAC，又∠BDF=∠ADC=90°，由此可以证明△BDF∽△ADC，所以FD：DC=BD：AD，设FD长为x，则可建立关于x的方程，解方程即可求出FD，AD的长．

解答：解：如图，过B作BE⊥AC，垂足为E交AD于F
∵∠BAC=45°
∴BE=AE，
∵∠C+∠EBC=90°，∠C+∠EAF=90°，
∴∠EAF=∠EBC，
在△AFE与△BCE中，

∠EAF=∠EBC BE=AE ∠FEA=∠CEB=90°

，
∴△AFE≌△BCE（ASA）
∴AF=BC=BD+DC=5，∠FBD=∠DAC，
又∵∠BDF=∠ADC=90°
∴△BDF∽△ADC
∴FD：DC=BD：AD
设FD长为x
即x：2=3：（x+5）
解得x=1
即FD=1
∴AD=AF+FD=5+1=6．
答：AD长为6．
故答案为：6．

点评：此题综合运用了锐角三角函数和勾股定理进行计算．注意能够熟练解二次方程．