Question

10．如图，在直角坐标系中，直线y=kx+1（k≠0）与双曲线y=$\frac{2}{x}$（x＞0）相交于P（1，m）．
（1）求k的值；
（2）若点Q与点P关于y=x成轴对称，则点Q的坐标为Q（（2，1））；
（3）若过P、Q两点的抛物线与y轴的交点为N（0，$\frac{5}{3}$），求该抛物线的解析式，并求出抛物线的对称轴方程．

Answer 1

分析 （1）直接将P点代入反比例函数解析式得出m的值，进而把P点代入一次函数解析式得出答案；
（2）利用全等三角形的判定和性质得出△APO≌△BQO（AAS），即可得出Q点坐标；
（3）直接利用待定系数法求出二次函数解析式进而得出答案．

解答 解：（1）把P（1，m）代入y=$\frac{2}{x}$，得m=2，
∴P（1，2）
把（1，2）代入y=kx+1，得k=1；

（2）如图所示：过点P作PA⊥y轴于点A，过点Q作QB⊥x轴于点B，
∵点Q与点P关于y=x成轴对称，OP=OQ，
∴∠POD=∠DOQ，∠AOD=∠BOD=45°，
∴∠AOP=∠BOQ，
在△APO和△BQO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAO=∠QBO}\\{∠AOP=∠BOQ}\\{PO=QO}\end{array}\right.$，
∴△APO≌△BQO（AAS），
∴AO=OB=2，AP=QB=1，
∴Q点的坐标为：（2，1）．
故答案为：（2，1）；

（3）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，得：
$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=2}\\{4a+2b+c=1}\\{c=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=1}\\{c=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
故抛物线解析式为：y=-$\frac{2}{3}$x²+x+$\frac{5}{3}$，
则对称轴方程为x=-$\frac{1}{-\frac{2}{3}}$=$\frac{3}{2}$．

点评 此题主要考查了待定系数法求一次函数以及二次函数解析式、全等三角形的判定与性质等知识，正确利用y=x的特殊性求出△APO≌△BQO是解题关键．