Question

如图，ABCD中，EF过AC的中点O，与边AD、BC分别相交于点E、F，
①证明：△AOE≌△COF
②证明：四边形AECF是平行四边形；
③在已知条件外，请你再添加一个条件，使四边形AECF是矩形．

Answer 1

①证明：∵四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴AD∥BC（平行四边形的对边平行），
OA=OC（平行四边形的对角线互相平分），
∴∠1=∠2，∠3=∠4（两直线平行，内错角相等），
在△AOE和△COF中，，
∴△AOE≌△COF（AAS）；
②证明：由①得：△AOE≌△COF，
∴OE=OF（全等三角形的对应边相等），
又OA=OC（已证），
∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形）；
③解：若添加AC=EF，
理由：由②得四边形AECF是平行四边形，且对角线AC=EF，
∴AECF为矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）；
若添加AF⊥BC，
理由：由②得四边形AECF是平行四边形，
又AF⊥BC，∴∠AFC=90°（垂直定义），
∴AECF为矩形（有一个角为直角的平行四边形为矩形）．