Question

如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦，过点C作CD⊥AB于点D，将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处，AE交⊙O于点F，连接OC、FC．
（1）求证：CE是⊙O的切线．
（2）若FC∥AB，求证：四边形AOCF是菱形．

Answer 1

（1）证明：由翻折可知∠FAC=∠OAC，∠E=∠ADC=90°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠FAC=∠OCA，
∴OC∥AE
∴∠OCE=90°，
即OC⊥CE，
∵OC是⊙O的半径
∴CE是⊙O的切线；

（2）证明：∵FC∥AB，OC∥AF，
∴四边形AOCF是平行四边形，
∵OA=OC，
∴平行四边形AOCF是菱形．
分析：（1）由翻折的性质可知∠FAC=∠OAC，∠E=∠ADC=90°，然后根据OA=OC得到∠OAC=∠OCA，从而得到OC∥AE，得到∠OCE=90°，从而判定切线．
（2）利用FC∥AB，OC∥AF判定四边形AOCF是平行四边形，根据OA=OC，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定□AOCF是菱形．
点评：本题考查了切线的判定、菱形的判定及翻折变换的性质，利用翻折变换的性质得到∠FAC=∠OAC，∠E=∠ADC=90°是解决此类问题的关键．