Question

13．如图，四边形MNPQ中NP∥AQ，NP=2，AN=3，∠Q=60°．正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在四边形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动，求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与四边形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S=$\frac{7}{3}$π+2．

Answer 1

分析 先根据点A绕点D翻滚，然后绕点C翻滚，然后绕点B翻滚，半径分别为1、2、1，翻转角分别为90°、90°、150°，据此画出图形．再结合总结的翻转角度和翻转半径，求出圆弧与梯形的边长围成的扇形的面积即可．

解答 解：如图：
∵点A绕点D翻滚，然后绕点C翻滚，然后绕点B翻滚，半径分别为1、$\sqrt{2}$、1，翻转角分别为90°、90°、150°，
∴S=2×$\frac{90×1×π}{360}$+2×$\frac{90π×（\sqrt{2}）^{2}}{360}$+2×$\frac{150π×1}{360}$+4×$\frac{1}{2}$×1²
=$\frac{π}{2}$+π+$\frac{5}{6}$π+2
=$\frac{7}{3}$π+2．
故答案为：$\frac{7}{3}$π+2．

点评 本题考查了扇形面积的计算、等腰梯形的性质、旋转的性质，作出图形并熟悉扇形面积是解题的关键．