Question

3．如图1，已知线段a、b，其中a＞b．
（1）如图2，作AB=a，并以AB为直径作半圆，圆心为O，在AB上截取BM=b，过点M作MN⊥AB，交⊙O于点N，连接BN，求证：BN=$\sqrt{ab}$．
（2）在矩形ABCD中，AB=a，BC=b．
①如图3，当1＜$\frac{a}{b}$≤2时，按照图示方法作出的正方形BNPQ，它的面积与矩形ABCD的面积相等，为什么？此时矩形ABCD被分成三块，与正方形BNPQ中对应的部分分别是：四边形BCEN是公共部分：△ADE对应△BCQ；△ABN对应△EQP．

②如图4，在$\frac{a}{b}$＞2时，点N在矩形ABCD外部，当AN≤2BN时，有AN²≤4BN²，
∴AB²-BN²≤4BN²，即AB²≤5BN²
∴a²≤5（$\sqrt{ab}$）²，即$\frac{a}{b}$≤5．
∴当2＜$\frac{a}{b}$≤5时，矩形ABCD最少可被分成4块拼合成正方形BNPQ．
③如图5，当$\frac{a}{b}$＞5且AN≤3BN时，请你在图中画出矩形ABCD剪拼成正方形BNPQ的剪拼线，并求出$\frac{a}{b}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用圆周角定理和相似三角形的判定及性质易得结论；
（2）①结合图形，利用（1）的结论和矩形的面积公式易得矩形和正方形的面积相等，由全等三角形的判定可得△ADE对应△BCQ，△ABN对应△EQP；
②由其推理过程易得矩形ABCD最少可被分成4块拼合成正方形BNPQ；
③由②的推理过程和（1）的结论得结果．

解答 （1）证明：连接AN，如图①，
∵AB为半圆O的直径，
∴∠ANB=90°，
∵MN⊥AB，
∴∠NMB=90°，
∴∠ANB=∠NMB，
又∠B为公共角，
∴△ANB∽△NMB，
∴$\frac{AB}{BN}=\frac{BN}{BM}$，
∴BN²=AB•BM=ab，
即BN=$\sqrt{ab}$；

（2）解：①∵S_{正方形BNPQ}=BN²，
由（1）可知BN=$\sqrt{ab}$，
∴S_{正方形BNPQ}=ab，
又∵S_矩形ABCD=AB•BC=ab，
∴S_{正方形BNPQ}=S_矩形ABCD，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠ADE=∠BCQ}\\{∠AED=∠BQC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BQC，
故△ADE对应△BCQ，△ABN对应△EQP，
故答案为：△BCQ，△EQP；
②答案为：4；
③如图②所示，
剪拼线为IJ、FG，KL、RS，
其中，FG∥IJ∥BN，且BJ=JG=HQ；RS∥KL∥DQ，且SL=LQ=BH，
当AN≤3BN时，有AN²≤9BN²，
在Rt△ABN中，
有AN²=AB²-BN²，
∴AB²-BN²≤9BN²，
即AB²≤10BN²，
∴a²≤10•$（\sqrt{ab}）^{2}$，
化简得 $\frac{a}{b}$≤10，
则$\frac{a}{b}$的最大值为10．

点评 本题主要考查了圆周角定理和相似三角形的性质，利用前面问题得出的结论，数形结合解决问题是解答此题的关键．