练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    （2012•北海）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A（-2，0）、B（0，1）、C（d，2）．
    （1）求d的值；
    （2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式；
    （3）在（2）的条件下，直线BC交y轴于点G．问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMC′是平行四边形？如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
    分析：（1）过C作CN垂直于x轴，交x轴于点N，由A、B及C的坐标得出OA，OB，CN的长，由∠CAB=90°，根据平角定义得到一对角互余，在直角三角形ACN中，根据两锐角互余，得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AC=BC，利用AAS得到三角形ACN与三角形AOB全等，根据全等三角形的对应边相等可得出CN=0A，AN=0B，由AN+OA求出ON的长，再由C在第二象限，可得出d的值；
    （2）由第一问求出的C与B的横坐标之差为3，根据平移的性质得到纵坐标不变，故设出C′（m，2），则B′（m+3，1），再设出反比例函数解析式，将C′与B′的坐标代入得到关于k与m的两方程，消去k得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可确定出k的值，得到反比例函数解析式，设直线B′C′的解析式为y=ax+b，将C′与B′的坐标代入，得到关于a与b的二元一次方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出直线B′C′的解析式；
    （3）存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMC′是平行四边形，理由为：设Q为GC′的中点，令第二问求出的直线B′C′的解析式中x=0求出y的值，确定出G的坐标，再由C′的坐标，利用线段中点坐标公式求出Q的坐标，过点Q作直线l与x轴交于M′点，与y=
    6
    x
    的图象交于P′点，若四边形P′G M′C′是平行四边形，则有P′Q=Q M′，易知点M′的横坐标大于
    3
    2
    ，点P′的横坐标小于
    3
    2
    ，作P′H⊥x轴于点H，QK⊥y轴于点K，P′H与QK交于点E，作QF⊥x轴于点F，由两直线平行得到一对同位角相等，再由一对直角相等及P′Q=QM′，利用AAS可得出△P′EQ与△QFM′全等，根据全等三角形的对应边相等，设EQ=FM′=t，由Q的横坐标-t表示出P′的横坐标，代入反比例函数解析式确定出P′的纵坐标，进而确定出M′的坐标，根据P′H-EH=P′H-QF表示出P′E的长，又P′Q=QM′，分别放在直角三角形中，利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，进而确定出P′与M′的坐标，此时点P′为所求的点P，点M′为所求的点M．
    解答：解：（1）作CN⊥x轴于点N，
    ∵A（-2，0）、B（0，1）、C（d，2），
    ∴OA=2，OB=1，CN=2，
    ∵∠CAB=90°，即∠CAN+∠BAO=90°，
    又∵∠CAN+∠ACN=90°，
    ∴∠BAO=∠ACN，
    在Rt△CNA和Rt△AOB中，
    ∵
    ∠ACN=∠BAO
    ∠ANC=∠BOA=90°
    CA=AB
    ，
    ∴Rt△CNA≌Rt△AOB（AAS），
    ∴NC=OA=2，AN=BO=1，
    ∴NO=NA+AO=3，又点C在第二象限，
    ∴d=-3；

    （2）设反比例函数为y=
    k
    x
    （k≠0），点C′和B′在该比例函数图象上，
    设C′（m，2），则B′（m+3，1），
    把点C′和B′的坐标分别代入y=
    k
    x
    ，得k=2m；k=m+3，
    ∴2m=m+3，
    解得：m=3，
    则k=6，反比例函数解析式为y=
    6
    x
    ，点C′（3，2），B′（6，1），
    设直线C′B′的解析式为y=ax+b（a≠0），
    把C′、B′两点坐标代入得：
    3a+b=2
    6a+b=1
    ，
    ∴解得：
    a=-
    1
    3
    b=3
    ；
    ∴直线C′B′的解析式为y=-
    1
    3
    x+3；


    （3）存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMC′是平行四边形，理由为：
    设Q是G C′的中点，令y=-
    1
    3
    x+3中x=0，得到y=3，
    ∴G（0，3），又C′（3，2），
    ∴Q（
    3
    2
    ，
    5
    2
    ），
    过点Q作直线l与x轴交于M′点，与y=
    6
    x
    的图象交于P′点，
    若四边形P′G M′C′是平行四边形，则有P′Q=Q M′，
    易知点M′的横坐标大于
    3
    2
    ，点P′的横坐标小于
    3
    2
    ，
    作P′H⊥x轴于点H，QK⊥y轴于点K，P′H与QK交于点E，作QF⊥x轴于点F，
    ∵QF∥P′E，
    ∴∠M′QF=∠QP′E，
    在△P′EQ和△QFM′中，
    ∵
    ∠P′EQ=∠QFM′
    ∠QP′E=∠M′QF
    P′Q=QM′
    ，
    ∴△P′EQ≌△QFM′（AAS），
    ∴EQ=FM′，P′Q=QM′，
    设EQ=FM′=t，
    ∴点P′的横坐标x=
    3
    2
    -t，点P′的纵坐标y=2•yQ=5，点M′的坐标是（
    3
    2
    +t，0），
    ∴P′在反比例函数图象上，即5（
    3
    2
    -t）=6，
    解得：t=
    3
    10
    ，
    ∴P′（
    6
    5
    ，5），M′（
    9
    5
    ，0），
    则点P′为所求的点P，点M′为所求的点M．
    点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形性质，利用待定系数法求函数解析式，平移的性质，是一道综合性较强的试题，要求学生掌握知识要全面．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•北海）如图，AB是O的直径，AE交O于点E，且与O的切线CD互相垂直，垂足为D．
    （1）求证：∠EAC=∠CAB；
    （2）若CD=4，AD=8：①求O的半径；②求tan∠BAE的值．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•北海）如图，点A的坐标为（-1，0），点B在直线y=2x-4上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是
    （
    7
    5
    ，-
    6
    5
    ）
    （
    7
    5
    ，-
    6
    5
    ）
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•北海）如图，梯形ABCD中AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，若AO：CO=2：3，AD=4，则BC等于（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•北海）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为（　　）

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案