Question

如图，已知直线l₁∥l₂，线段AB在直线l₁上，BC垂直于l₁交l₂于点C，且AB=BC，P是线段BC上异于两端点的一点，过点P的直线分别交l₂、l₁于点D、E（点A、E位于点B的两侧），满足BP=BE，连接AP、CE．
（1）求证：△ABP≌△CBE；
（2）连结AD、BD，BD与AP相交于点F．如图2．
①当

BC

BP

=2时，求证：AP⊥BD；
②当

BC

BP

=n（n＞1）时，设△PAD的面积为S₁，△PCE的面积为S₂，求

S1

S2

的值．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：几何综合题

分析：（1）求出∠ABP=∠CBE，根据SAS推出即可；
（2）①延长AP交CE于点H，求出AP⊥CE，证出△CPD∽△BPE，推出DP=PE，求出平行四边形BDCE，推出CE∥BD即可；
②分别用S表示出△PAD和△PCE的面积，代入求出即可．

解答：（1）证明：∵BC⊥直线l₁，
∴∠ABP=∠CBE，
在△ABP和△CBE中

AB=BC ∠ABP=∠CBE BP=BE

∴△ABP≌△CBE（SAS）；

（2）①证明：连结BD，延长AP交CE于点H，
∵△ABP≌△CBE，
∴∠APB=∠CEB，
∵∠PAB+∠APB=90°，
∴∠PAB+∠CEB=90°，
∴AH⊥CE，
∵

BC

BP

=2，即P为BC的中点，直线l₁∥直线l₂，
∴△CPD∽△BPE，
∴

DP

PE

=

CP

BP

=

1

1

，
∴DP=PE，
∴四边形BDCE是平行四边形，
∴CE∥BD，
∵AH⊥CE，
∴AP⊥BD；

②解：∵

BC

BP

=n，
∴BC=n•BP，
∴CP=（n-1）•BP，
∵CD∥BE，
易得△CPD∽△BPE，
∴

PD

PE

=

PC

PB

=n-1，
设△PBE的面积S_△PBE=S，则△PCE的面积S_△PCE满足

S△PCE

S△PBE

=

PC

PB

=n-1，
即S₂=（n-1）S，
∵S_△PAB=S_△BCE=n•S，
∴S_△PAE=（n+1）•S，
∵

S△PAD

S△PAE

=

PD

PE

=n-1，
∴S₁=（n-1）•S_△PAE，即S₁=（n+1）（n-1）•S，
∴

S1

S2

=

(n+1)(n-1)S

(n-1)S

=n+1．

点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生的推理能力，题目比较好，有一定的难度．