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    问题背景:

    （1）     如图1，△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于D，E两点，过点E作EF∥AB交BC于点F．请按图示数据填空：

    四边形DBFE的面积     ▲     ，

    △EFC的面积     ▲     ，

    △ADE的面积     ▲     ．

    探究发现

    （1）在（1）中，若，，DE与BC间的距离为．请证明．

    拓展迁移

    （2）如图2，平行四边形DEFG的四个顶点在△ABC的三边上，若△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为2、5、3，试利用（2）中的结论求△ABC的面积．

     

     

    【答案】

    （1），，（2）见解析（3）18

    【解析】解：（1），，（3分）

    （2）证明：∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DBFE为平行四边形，，．

    ∴△ADE∽△EFC，∴．

    ∵，∴．

    ∴．而，∴ （3分）

    （3）解：过点G作GH∥AB交BC于H，则四边形DBHG为平行四边形．

    ∴，，．

    ∵四边形DEFG为平行四边形，

    ∴     ∴   ∴．    

    ∴△DBE≌△GHF．∴△GHC的面积为．

    由（2）得，□DBHG的面积为．

    ∴△ABC的面积为（4分）

    （1）四边形DBFE是平行四边形，利用底×高可求面积；△EFC的面积利用底×高的一半计算；△ADG的面积，可以先过点A作AH⊥BC，交DE于G，交BC于H，即AG是△ADE的高，AH是△ABC的高，利用平行线分线段成比例定理的推论，可知△ADG∽△ABC，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求AG，再利用三角形的面积公式计算即可；

    （2）由于DE∥BC，EF∥AB，可知四边形DBFE是▱，同时，利用平行线分线段成比例定理的推论，可知△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，从而易得△ADE∽△EFC，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得S1：S2=a2：b2，由于S1=1/2bh，那么可求S2，从而易求4S1S2，又S=ah，容易证出结论；

    （3）过点G作GH∥AB交BC于H，则四边形DBHG为平行四边形，容易证出△DBE≌△GHF，那么△GHC的面积等于8，再利用（2）中的结论，可求▱DBHG的面积，从而可求△ABC的面积．

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    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    问题背景  某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题：
    ①如图1，O是正三角形ABC的中心，∠MON分别与AB、BC交于点P，Q，若∠MON=120°，则四边形OPBQ的面积等于三角形ABC面积的三分之一．
    ②如图2，O是正方形ABCD的中心，∠MON分别与AB、BC交于点P，Q，若∠MON=90°，则四边形OPBQ的面积等于正方形ABCD面积的四分之一．
    然后运用类比的思想提出了如下的命题：
    ③如图3，O是正五边形ABCDE的中心，∠MON分别与AB、BC交于点P，Q，若∠MON=72°，则四边形OPBQ的面积等于五边形ABCDE面积的五分之一．
    任务要求
    （1）请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明；
    （2）请你继续完成下面的探索：
    如图4，在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，O是中心，∠MON分别与AB、BC交于点P，Q，若∠MON 等于多少度时，则四边形OPBQ的面积等于正n边形ABCDE…面积的n分之一？（不要求证明）
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    16、问题背景：
    A、B两家超市都有某种品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价都为50元，每个乒乓球的标价都为2元．现两家超市正在促销，A超市所有商品均打九折销售，而B超市买一副乒乓球拍送4个乒乓球．若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用．
    （1）如果只在某一家超市购一副乒乓球拍和10个乒乓球，问去A超市还是B超市买更合算？
    迁移运用：
    （2）某乒乓球训练馆准备购买n副该种品牌的乒乓球拍，每副球拍配k（k≥4）个乒乓球．如果只在某一家超市购买，问去A超市还是B超市买更合算？
    拓展延伸：
    （3）若乒乓球训练馆准备购买n副该种品牌的乒乓球拍，每副球拍配20个乒乓球．请通过计算设计出最省钱的购买方案．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    问题背景：如图，点C是半圆O上一动点（点C与A、B不重合），AB=2，连接AC、BC、OC，将△AOC沿直线AC翻折得△ADC，点、E、F、G、H分别是DA、AO、OC、CD的中点．
    （1）猜想证明：猜想四边形AOCD以及四边形EFGH的形状，并证明你的结论；
    （2）拓展探究：探究点C在半圆弧上哪个位置时，四边形EFGH面积最大？求出这个最大精英家教网值，判断此时四边形EFGH的形状，并说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•达州）【问题背景】
    若矩形的周长为1，则可求出该矩形面积的最大值．我们可以设矩形的一边长为x，面积为s，则s与x的函数关系式为：s=-x2+
    1
    2
    x(x    ＞0），利用函数的图象或通过配方均可求得该函数的最大值．
    【提出新问题】
    若矩形的面积为1，则该矩形的周长有无最大值或最小值？若有，最大（小）值是多少？
    【分析问题】
    若设该矩形的一边长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为：y=2(x+
    1
    x
    )    （x＞0），问题就转化为研究该函数的最大（小）值了．
    【解决问题】
    借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数y=2(x+
    1
    x
    )    （x＞0）的最大（小）值．
    （1）实践操作：填写下表，并用描点法画出函数y=2(x+
    1
    x
    )    （x＞0）的图象：
     x …  
    1
    4
    		  
    1
    3
    		  
    1
    2
    		  1  2  3  4 …
     y …               …
    （2）观察猜想：观察该函数的图象，猜想当x=
    1
    1
    时，函数y=2(x+
    1
    x
    )    （x＞0）有最
    小
    小
    值（填“大”或“小”），是
    4
    4
    ．
    （3）推理论证：问题背景中提到，通过配方可求二次函数s=-x2+
    1
    2
    x(x    ＞0）的最大值，请你尝试通过配方求函数y=2(x+
    1
    x
    )    （x＞0）的最大（小）值，以证明你的猜想．〔提示：当x＞0时，x=(
    		x
    )2    〕

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    问题背景：
    在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为
    		5
    、
    		10
    、
    		13
    ，求这个三角形的面积．
    小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．
    （1）若△ABC三边的长分别为
    		5
    a，2
    		2
    a，
    		17
    a    （a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．
    思维拓展：
    （2）若△ABC三边的长分别为
    		m2+16n2
    ，
    		9m2+4n2
    ，2
    		m2+n2
    （m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积．
    探索创新：
    （3）已知a、b都是正数，a+b=3，求当a、b为何值时
    		a2+4
    +
    		b2+25
    有最小值，并求这个最小值．
    （4）已知a，b，c，d都是正数，且a2+b2=c2，c
    		a2-d2
    =a2，求证：ab=cd．

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