Question

问题背景  某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题：
①如图1，O是正三角形ABC的中心，∠MON分别与AB、BC交于点P，Q，若∠MON=120°，则四边形OPBQ的面积等于三角形ABC面积的三分之一．
②如图2，O是正方形ABCD的中心，∠MON分别与AB、BC交于点P，Q，若∠MON=90°，则四边形OPBQ的面积等于正方形ABCD面积的四分之一．
然后运用类比的思想提出了如下的命题：
③如图3，O是正五边形ABCDE的中心，∠MON分别与AB、BC交于点P，Q，若∠MON=72°，则四边形OPBQ的面积等于五边形ABCDE面积的五分之一．
任务要求
（1）请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明；
（2）请你继续完成下面的探索：
如图4，在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，O是中心，∠MON分别与AB、BC交于点P，Q，若∠MON 等于多少度时，则四边形OPBQ的面积等于正n边形ABCDE…面积的n分之一？（不要求证明）

Answer 1

分析：（1）根据正三角形中心的性质得出，∠OAP=∠OBQ以及OA=OB，以及∠APO=∠BQO，进而得出△APO≌△BOQ，
再根据△OAB的面积与△ABC面积关系得出命题正确；
（2）根据规律得出一般公式即可得出∠MON的度数．

解答：证明：（1）连接OA，OB，
∵OA=OB，∠OAP=∠OBQ，∠ABC+∠POQ=180°，
所以∠OPB+∠OQB=180°，∠APO=∠BQO，
∴△APO≌△BOQ，
所以四边形OPBQ的面积=三角形OAB的面积．
∴四边形OPBQ的面积等于三角形ABC面积的三分之一．
所以结论①成立．

（2）∠MON=(180°-

(n-2)•180

n

)=

360

n

度．

点评：此题主要考查了正三角形中心的性质以及全等三角形的证明，熟练应用正三角形中心的性质得出，∠OAP=∠OBQ以及△OAB的面积与△ABC面积关系是解决问题的关键．