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问题背景  某课外学习小组在一次学习研讨中,得到如下两个命题:
①如图1,O是正三角形ABC的中心,∠MON分别与AB、BC交于点P,Q,若∠MON=120°,则四边形OPBQ的面积等于三角形ABC面积的三分之一.
②如图2,O是正方形ABCD的中心,∠MON分别与AB、BC交于点P,Q,若∠MON=90°,则四边形OPBQ的面积等于正方形ABCD面积的四分之一.
然后运用类比的思想提出了如下的命题:
③如图3,O是正五边形ABCDE的中心,∠MON分别与AB、BC交于点P,Q,若∠MON=72°,则四边形OPBQ的面积等于五边形ABCDE面积的五分之一.
任务要求
(1)请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明;
(2)请你继续完成下面的探索:
如图4,在正n(n≥3)边形ABCDEF…中,O是中心,∠MON分别与AB、BC交于点P,Q,若∠MON 等于多少度时,则四边形OPBQ的面积等于正n边形ABCDE…面积的n分之一?(不要求证明)

【答案】分析:(1)根据正三角形中心的性质得出,∠OAP=∠OBQ以及OA=OB,以及∠APO=∠BQO,进而得出△APO≌△BOQ,
再根据△OAB的面积与△ABC面积关系得出命题正确;
(2)根据规律得出一般公式即可得出∠MON的度数.
解答:证明:(1)连接OA,OB,
∵OA=OB,∠OAP=∠OBQ,∠ABC+∠POQ=180°,
所以∠OPB+∠OQB=180°,∠APO=∠BQO,
∴△APO≌△BOQ,
所以四边形OPBQ的面积=三角形OAB的面积.
∴四边形OPBQ的面积等于三角形ABC面积的三分之一.
所以结论①成立.

(2)∠MON=度.
点评:此题主要考查了正三角形中心的性质以及全等三角形的证明,熟练应用正三角形中心的性质得出,∠OAP=∠OBQ以及△OAB的面积与△ABC面积关系是解决问题的关键.
练习册系列答案
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①如图1,O是正三角形ABC的中心,∠MON分别与AB、BC交于点P,Q,若∠MON=120°,则四边形OPBQ的面积等于三角形ABC面积的三分之一.
②如图2,O是正方形ABCD的中心,∠MON分别与AB、BC交于点P,Q,若∠MON=90°,则四边形OPBQ的面积等于正方形ABCD面积的四分之一.
然后运用类比的思想提出了如下的命题:
③如图3,O是正五边形ABCDE的中心,∠MON分别与AB、BC交于点P,Q,若∠MON=72°,则四边形OPBQ的面积等于五边形ABCDE面积的五分之一.
任务要求
(1)请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明;
(2)请你继续完成下面的探索:
如图4,在正n(n≥3)边形ABCDEF…中,O是中心,∠MON分别与AB、BC交于点P,Q,若∠MON 等于多少度时,则四边形OPBQ的面积等于正n边形ABCDE…面积的n分之一?(不要求证明)
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科目:初中数学 来源: 题型:

(2013•山西模拟)问题背景  某课外学习小组在一次学习研讨中,得到如下命题:
①如图1,在正三角形ABC中,M、N分别是AC、AB上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=60°,则BM=CN.
②如图2,在正方形ABCD中,M、N分别是CD、AD上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=90°,则BM=CN.
然后运用类比的思想提出了如下的命题:
③如图3,在正五边形ABCDE中,M、N分别是CD、DE上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=108°,则BM=CN.

任务要求
(1)请你对命题③进行证明;
(2)请你继续完成下面的探索:如图4,在五边形ABCDE中,M、N分别是DE、AE上的点,BM与CN相交于点O,当∠BON=108°时,请问结论BM=CN是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.

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科目:初中数学 来源:2012年江西抚州市崇仁四中初三第二次月考数学试卷(带解析) 题型:解答题

问题背景 某课外学习小组在一次学习研讨中,得到如下两个命题:
①如图1,O是正三角形ABC的中心,∠MON分别与ABBC交于点P,Q,若∠MON = 120°,则四边形OPBQ的面积等于三角形ABC面积的三分之一.
②如图2,O是正方形ABCD的中心,∠MON分别与ABBC交于点P,Q,若∠MON = 90°,则四边形OPBQ的面积等于正方形ABCD面积的四分之一.
然后运用类比的思想提出了如下的命题:
③如图3,O是正五边形ABCDE的中心,∠MON分别与ABBC交于点P,Q,若∠MON = 72°,则四边形OPBQ的面积等于五边形ABCDE面积的五分之一.
任务要求 
(1)请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明;(说明:选①做对的得5分,选②做对的得4分,选③做对的得6分)
(2)请你继续完成下面的探索:
如图④,在正nn≥3)边形ABCDEF…中,O是中心,∠MON分别与ABBC交于点P,Q,若∠MON等于多少度时,则四边形OPBQ的面积等于正n边形ABCDE…面积的n分之一?(不要求证明)
解:(1)我选           .

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科目:初中数学 来源:2012年江西抚州市初三第二次月考数学试卷(解析版) 题型:解答题

问题背景  某课外学习小组在一次学习研讨中,得到如下两个命题:

①如图1,O是正三角形ABC的中心,∠MON分别与ABBC交于点P,Q,若∠MON = 120°,则四边形OPBQ的面积等于三角形ABC面积的三分之一.

②如图2,O是正方形ABCD的中心,∠MON分别与ABBC交于点P,Q,若∠MON = 90°,则四边形OPBQ的面积等于正方形ABCD面积的四分之一.

然后运用类比的思想提出了如下的命题:

③如图3,O是正五边形ABCDE的中心,∠MON分别与ABBC交于点P,Q,若∠MON = 72°,则四边形OPBQ的面积等于五边形ABCDE面积的五分之一.

任务要求 

(1)请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明;(说明:选①做对的得5分,选②做对的得4分,选③做对的得6分)

(2)请你继续完成下面的探索:

如图④,在正nn≥3)边形ABCDEF…中,O是中心,∠MON分别与ABBC交于点P,Q,若∠MON 等于多少度时,则四边形OPBQ的面积等于正n边形ABCDE…面积的n分之一?(不要求证明)

解:(1)我选           .

 

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