Question

2．如图1，E是正方形ABCD中CD边上的一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转α后，得到△ABG．
（1）求α的值；
（2）当点F在BC上，且∠EAF=45°，连接EF（如图2），求证：BF+DE=EF；
（3）在（2）的前提下，连接BD，分别交AE，AF于M，N两点（如图3），试判断线段BN，MN，DM三者的关系式，请给出证明．

Answer 1

分析 （1）根据旋转角的定义即可求解；
（2）证明△GAF≌△EAF，则EF=GF，然后根据旋转的性质即可证得；
（3）在AG上截取AH=AM，然后证明△AHB≌△AMD，则MN=HN，△HBN是直角三角形，根据勾股定理即可证得．

解答 解：（1）α=∠DAB=90°；
（2）∵△ABG≌△ADE，
∴∠GAB=∠DAE，
又∵∠BAD=90°，
∴BAF+∠DAE=90°-∠EAF=90°-45°=45°，
∴∠GAF=∠GAB+∠BAF=∠EAF=45°，
在△GAF和△EAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠GAF=∠EAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△GAF≌△EAF，
∴GF=EF，
又∵BG=DE，
∴BF+DE=EF；
（3）BN²+DM²=MN²．
理由是：在AG上截取AH=AM．
在△AHB和△AMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠HAB=∠MAD}\\{AH=AM}\end{array}\right.$，
∴△AHB≌△AMD，
∴BH=DM，∠ABH=∠ADB=45°，
又∵∠ABD=45°，
∴∠HBN=90°．
∴BH²+BN²=HN²．
在△AHN和△AMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AH}\\{∠HAN=∠MAN}\\{AN=AN}\end{array}\right.$，
∴△AHN≌△AMN，
∴MN=HN．
∴BN²+DM²=MN²．

点评 本题考查了正方形的性质以及旋转的性质和勾股定理的逆定理，正确作出辅助线是解决本题的关键．