Question

1．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点F，交AB的延长线于点E．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）当BD=3，DF=$\frac{12}{5}$时，求直径AB．

Answer 1

分析 （1）连结OD．根据垂直的定义得到∠DFA=90°，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠C，∠1=∠2，等量代换得到∠2=∠C，根据平行线的性质得到∠EDO=∠DFA=90°，即OD⊥EF．于是得到结论；
（2）连结AD，根据勾股定理得到CF=$\sqrt{C{D}^{2}-D{F}^{2}}$=$\frac{9}{5}$，根据相似三角形的性质得到AF=$\frac{D{F}^{2}}{CF}$=$\frac{16}{5}$，于是得到结论．

解答 （1）证明：连结OD．
∵EF⊥AC，
∴∠DFA=90°，
∵AB=AC，
∴∠1=∠C，
∵OB=OD，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠C，
∴OD∥AC，
∴∠EDO=∠DFA=90°，即OD⊥EF．
∴EF是⊙O的切线；

（2）解：连结AD，
∵AB是直径
∴AD⊥BC，
又AB=AC，
∴CD=BD=3，
在Rt△CFD中，DF=$\frac{12}{5}$，
∴CF=$\sqrt{C{D}^{2}-D{F}^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
在Rt△CFD中，DF⊥AC，
∴△CFD∽△DFA，
∴$\frac{CF}{DF}$=$\frac{DF}{AF}$，即AF=$\frac{D{F}^{2}}{CF}$=$\frac{16}{5}$，
∴AC=CF+AF=$\frac{9}{5}$+$\frac{16}{5}$=5，
∴AB=AC=5．

点评 本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．