Question

9．如图1，在正方形ABCD中，以BC为直径的正方形内，作半圆O，AE切半圆于点F交CD于点E，连接OA、OE．
（1）求证：AO⊥EO；
（2）如图2，连接DF并延长交BC于点M，求$\frac{DF}{FM}$的值．

Answer 1

分析 （1）先证明AB和CD为⊙O的切线，则利用切线长定理得到OA平分∠BAE，OE平分∠AEC，从而得到∠AOE=90°，所以OA⊥OE；
（2）作FH⊥CD于H，如图，设正方形ABCD的边长为4a，AF=AB=4a，OB=OC=2a，先证明Rt△ABO∽Rt△OCE，利用相似比得到CE=a，则EA=5a，ED=3a，再证明△EFH∽△EAD，利用相似比求出FH=$\frac{5}{4}$a，EH=$\frac{3}{4}$a，则DH=$\frac{9}{4}$a，然后根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB∥CD，
∴AB和CD为⊙O的切线，
∵AE切半圆于点F，
∴OA平分∠BAE，OE平分∠AEC，
而AB∥CD，
∴∠BAE+∠AEC=180°，
∴∠OAE+∠OEA=90°，
∴∠AOE=90°，
∴OA⊥OE；

（2）解：作FH⊥CD于H，如图，设正方形ABCD的边长为4a，
则AF=AB=4a，OB=OC=2a，
∵∠AOE=90°，
∴∠AOB+∠COE=90°，
∵∠AOB+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠EOC，
∴Rt△ABO∽Rt△OCE，
∴AB：OC=OB：CE，即4a：2a=2a：CE，解得CE=a，
∴EF=EC=a，
∴EA=5a，ED=3a，
∵FH∥AD，
∴△EFH∽△EAD，
∴$\frac{FH}{AD}$=$\frac{EF}{EA}$=$\frac{EH}{ED}$，即$\frac{FH}{5a}$=$\frac{a}{4a}$=$\frac{EH}{3a}$，
∴FH=$\frac{5}{4}$a，EH=$\frac{3}{4}$a，
∴DH=3a-$\frac{3}{4}$a=$\frac{9}{4}$a，
∴CH=4a-$\frac{9}{4}$a=$\frac{7}{4}$a，
∵FH∥CM，
∴$\frac{DF}{FM}$=$\frac{DH}{CH}$=$\frac{9}{7}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的性质，正方形的性质和解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．