Question

19．如图，直线MN交⊙O于A、B两点，AC是⊙O的直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过点D作⊙O的切线交MN于点E．
（1）求证：DE⊥MN；
（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由DE与⊙O相切知∠ODE=90°，由AD平分∠CAM及OD=OA知∠1=∠2=∠3，得OD∥MN，继而知DE⊥MN；
（2）连接DC，由勾股定理得AD=$\sqrt{D{E}^{2}+A{E}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，证△DAE∽△CAD得$\frac{AE}{AD}$=$\frac{AD}{AC}$，即可知AC=$\frac{A{D}^{2}}{AE}$=15，从而得出答案．

解答 解：（1）如图，连接OD，

∵DE与⊙O相切于点D，
∴∠ODE=90°，
∵OD=OA，
∴∠2=∠3，
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴OD∥MN，
∴DE⊥MN；

（2）连接DC，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠ADC=90°，
又∵∠DEA=90°，∠1=∠2，
∴△DAE∽△CAD，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{AD}{AC}$，
又AD=$\sqrt{D{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∴AC=$\frac{A{D}^{2}}{AE}$=$\frac{（3\sqrt{5}）^{2}}{3}$=15，
∴⊙O的半径OA=$\frac{15}{2}$．

点评 本题主要考查切线的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．