Question

如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，连接DE并延长交CB的延长线于点G．
（1）求证：DE∥BF；
（2）探究：线段AG与线段DB间关系，说明理由．

Answer 1

解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB，DC∥AB，即DF∥EB；
又∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴DF=BE，
∴四边形DEBF为平行四边形，
∴DE∥BF；

（2）AG∥DB，AG=BD；
理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥GC，∠DAE=∠GBE；
又∵∠AED=∠BEG，AE=BE，
∴△AED≌△BEG（AAS），
∴ED=BG，
∴四边形ADBG是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∴AG∥DB，AG=BD．
分析：（1）根据题意可证明四边形DEBF为平行四边形，然后由平行四边形的对边相互平行的性质可以证得该结论；
（1）由“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证得四边形AGBD是平行四边形，然后根据平行四边形的对边平行且相等的性质推知AG∥DB，AG=BD．
点评：本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．解答（2）时，根据条件在图形中的位置，可选择利用“对角线相互平分的四边形为平行四边形”来解决．