Question

如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：
①∠AOB=90°+

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2

∠C；
②当∠C=90°时，E，F分别是AC，BC的中点；
③若OD=a，CE+CF=2b，则S_△CEF=ab．
其中正确的是（　　）

• A、①
• B、②③
• C、①②
• D、①③

Answer 1

考点：角平分线的性质,三角形内角和定理,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：根据三角形的内角和定理可得∠BAC+∠ABC=180°-∠C，再根据角平分线的定义可得∠OAB+∠OBA=

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（∠BAC+∠ABC），然后根据三角形的内角和定理列式整理即可得解，判断出①正确；根据角平分线的定义判断出点O在∠ACB的平分线上，从而得到点O不是∠ACB的平分线的中点，然后判断出②错误；根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点O到AC的距离等于OD，再利用三角形的面积公式列式计算即可得到S_△CEF=ab，判断出③正确．

解答：解：在△ABC中，∠BAC+∠ABC=180°-∠C，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OAB+∠OBA=

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（∠BAC+∠ABC）=90°-

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∠C，
在△AOB中，∠AOB=180°-（90°-

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∠C）=90°+

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∠C，故①正确；
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠ACB的平分线上，
∴点O不是∠ACB的平分线的中点，
∵EF∥AB，
∴E，F一定不是AC，BC的中点，故②错误；
∵点O在∠ACB的平分线上，
∴点O到AC的距离等于OD，
∴S_△CEF=

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2

（CE+CF）•OD=

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2

•2b•a=ab，故③正确；
综上所述，正确的是①③．
故选D．

点评：本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记各性质并准确识图是解题的关键．