Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求证：AC²=AD•AB；
（3）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∵∠DAC=∠BAC，
∴∠OCA=∠DAC，
∴OC∥AD，
∵AD⊥EF，
∴OC⊥EF，
∵OC为半径，
∴EF是⊙O的切线．

（2）证明：连接BC，
∵AB为⊙O直径，AD⊥EF，
∴∠BCA=∠ADC=90°，
∵∠DAC=∠BAC，
∴△ACB∽△ADC，
∴=，
∴AC²=AD•AB．

（3）解：∵∠ACD=30°，∠OCD=90°，
∴∠OCA=60°，
∵OC=OA，
∴△OAC是等边三角形，
∴AC=OA=OC=2，∠AOC=60°，
∵在Rt△ACD中，AD=AC=×2=1，
由勾股定理得：DC=，
∴阴影部分的面积是S=S_梯形OCDA-S_扇形OCA=×（2+1）×-=-π．
分析：（1）连接OC，根据OA=OC推出∠BAC=∠OCA=∠DAC，推出OC∥AD，得出OC⊥EF，根据切线的判定推出即可；
（2）证△ADC∽△ACB，得出比例式，即可推出答案；
（3）求出等边三角形OAC，求出AC、∠AOC，在Rt△ACD中，求出AD、CD，求出梯形OCDA和扇形OCA的面积，相减即可得出答案．
点评：本题考查了切线的性质和判定，相似三角形的性质和判定，梯形的性质，扇形的面积等知识点的应用，主要考查学生能否运用性质进行推理和计算，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．