Question

17．如图1，若直线y=2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，将△COD绕点O逆时针转90°得到△COD，过A，B，D的抛物线h：y=ax²+bx+c．
（1）求抛物线h的表达式；
（2）若与y轴平行的直线m以1秒钟一个单位长的速度从y轴向左平移，交线段CD于点M，交抛物线于h点N，求线段MN的最大值；
（3）如图2，点E为抛物线h的顶点，点P是抛物线h在第二象限上一动点（不与点D，B重合）．连接PE，以PE为边作图示一侧的正方形PEFG，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变，当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据直线解析式求得点A、B坐标，继而根据旋转可知点C、D坐标，最后待定系数法求解可得；
（2）先求出CD所在直线解析式，根据题意设点M的坐标为（m，$\frac{1}{2}$m+2），则点N的坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m²-m+4）从而得出线段MN的长度l可表示为l=-$\frac{1}{2}$m²-m+4-（$\frac{1}{2}$m+2），利用二次函数的性质即可得；
（3）求得抛物线的顶点式得出顶点E的坐标，设点P坐标为（x，-$\frac{1}{2}$x²-x+4），分点F在y轴上和点G在y轴上两种情况，利用正方形的性质构建全等的直角三角形，根据对应边相等得出关于x的方程，解之可得．

解答 解：（1）直线y=-2x+4中，当x=0时，y=4；当y=0时，x=2，
∴点A（2，0）、B（0，4），
由题意知，点C的坐标为（0，2）、点D坐标为（-4，0），
将点A、D坐标分别代入抛物线解析式，得：$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+4=0}\\{16a-4b+4=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴抛物线h的表达式为y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4；

（2）设CD所在直线解析式为y=kx+b，
将点C、D坐标代入，得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{-4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线CD的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+2，
设点M的坐标为（m，$\frac{1}{2}$m+2），
则点N的坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m²-m+4），
∴线段MN的长度l可表示为l=-$\frac{1}{2}$m²-m+4-（$\frac{1}{2}$m+2），
整理得：l=-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2=-$\frac{1}{2}$（m+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，
当m=-$\frac{3}{2}$时，线段MN的长度最大值为$\frac{25}{8}$；

（3）∵y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4=-$\frac{1}{2}$（x+1）²+$\frac{9}{2}$，
∴抛物线的顶点E的坐标为（-1，$\frac{9}{2}$），
设点P坐标为（x，-$\frac{1}{2}$x²-x+4）
①当点F在y轴上时，如图1，过点E作直线MN∥x轴，交y轴于点N，过点P作PM⊥MN，

则∠PME=∠ENB=90°，
∴∠MPE+∠MEP=90°，
∵四边形AEFG是正方形，
∴∠PEF=90°，PE=EF，
∴∠MEP+∠NEF=90°，
∴∠MPE=∠NEF，
在△PME和△ENB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠PME=∠ENB}\\{∠MPE=∠NEF}\\{PE=EF}\end{array}\right.$，
∴△PME≌△ENB，
∴PM=EN，即$\frac{9}{2}$-（-$\frac{1}{2}$x²-x+4）=1，
解得：x=-1$±\sqrt{2}$，
当x=-1+$\sqrt{2}$时，y=$\frac{7}{2}$，
当x=-1-$\sqrt{2}$时，y=$\frac{7}{2}$，
∴点P的坐标为（-1+$\sqrt{2}$，$\frac{7}{2}$）或（-1-$\sqrt{2}$，$\frac{7}{2}$）（此时点P不在第二象限，舍去）；
②当点G在y轴上时，如图2，过点P作MN∥y轴，过点E作EM⊥MN，作GN⊥MN，

则∠EMP=∠PNG=90°，
∴∠MPE+∠MEP=90°，
∵四边形PEFG是矩形，
∴∠EPG=90°，PE=EG，
∴∠MPE+∠GPN=90°，
∴∠MEP=∠GPN，
在△MPE和△NGP中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠MEP=∠GPN}\\{∠EMP=∠PNG}\\{PE=GP}\end{array}\right.$，
∴△MPE≌△NGP，
∴PM=GN，即$\frac{9}{2}$-（-$\frac{1}{2}$x²-x+4）=-x，
解得：x=-2$±\sqrt{3}$，
当x=-2+$\sqrt{3}$时，y=$\frac{5}{2}$+$\sqrt{3}$，即点P坐标为（-2+$\sqrt{3}$，$\frac{5}{2}$+$\sqrt{3}$）；
当x=-2-$\sqrt{3}$时，y=$\frac{5}{2}$+$\sqrt{3}$，即点P坐标为（-2-$\sqrt{3}$，$\frac{5}{2}$-$\sqrt{3}$）；
综上，点P的坐标为（-1+$\sqrt{2}$，$\frac{7}{2}$）、（-2+$\sqrt{3}$，$\frac{5}{2}$+$\sqrt{3}$）、（-2-$\sqrt{3}$，$\frac{5}{2}$-$\sqrt{3}$）．

点评 本题主要考查二次函数的综合运用，根据题意构建全等的直角三角形是解题的关键．