Question

15．在△ABC中，tanB=$\frac{3}{4}$，AB=10，AC=3$\sqrt{5}$，则线段BC的长为5或11．

Answer 1

分析 此题分两种情况：如图1，过A作AD⊥BC于D，在R_t△ABD中，由已知条件tanB=$\frac{3}{4}$，设AD=3x，BD=4x，根据勾股定理得到AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=5x=10，求得AD=6，BD=8，在R_t△ADC中，CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=3，于是得到结果；如图2，过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，同理可得结果．

解答 解：如图1，过A作AD⊥BC于D，
在R_t△ABD中，∵tanB=$\frac{3}{4}$，
∴设AD=3x，BD=4x，
∴AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=5x=10，
∴x=2，
∴AD=6，BD=8，
在R_t△ADC中，CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=3，
∴BC=BD+CD=11；
如图2，过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，
在R_t△ABD中，∵tanB=$\frac{3}{4}$，
∴设AD=3x，BD=4x，
∴AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=5x=10，
∴x=2，
∴AD=6，BD=8，
在R_t△ADC中，CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=3，
∴BC=BD-CD=5；
故答案为：5或11．

点评 本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．