Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，且AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，点D是AC的中点，AE⊥BD于点F，交BC于点E，连接DE．
求证：（1）∠BAF=∠ADB；
（2）∠ADB=∠EDC．

Answer 1

分析：（1）根据三角形的内角和定理得出∠BAF+∠DAF=90°，∠DAF+∠ADB=90°，推出即可；
（2）过C作CM⊥AC，交AE的延长线于M，推出CM∥AB，推出∠MCE=∠ABC=∠ACB，求出∠ABD=∠CAM，证△ABD≌△CAM，推出∠ADB=∠M，AD=CM=AD，证△CDE≌△CME，推出∠M=∠EDC即可．

解答：（1）证明：∵∠BAC=90°，
∴∠BAF+∠DAF=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AFD=90°，
∴∠DAF+∠ADB=90°，
∴∠BAF=∠ADB．


（2）证明：过C作CM⊥AC，交AE的延长线于M，
则∠ACM=90°=∠BAC，
∴CM∥AB，
∴∠MCE=∠ABC=∠ACB，
∵∠BAF=∠ADB，∠ADB+∠FAD=90°，∠ABD+∠BAF=90°，
∴∠ABD=∠CAM，
在△ABD和△CAM中
∵

∠DAB=∠ACM AB=AC ∠ABD=∠CAM

，
∴△ABD≌△CAM（ASA），
∴∠ADB=∠M，AD=CM，
∵D为AC中点，
∴AD=DC=CM，
在△CDE和△CME中，
∵

CD=CM ∠DCE=∠MCE CE=CE

，
∴△CDE≌△CME（SAS），
∴∠M=∠EDC，
∵∠M=∠ADB，
∴∠ADB=∠EDC．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难度．